Question

【题目】如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A、B和D的距离分别为1，，，△ADP沿点A旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP与BC相交于点Q．

（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；

（2）求∠BPQ的大小；

（3）求CQ的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）45°；（3）．

【解析】

（1）根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因为∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形；

（2）根据勾股定理逆定理可判断△PP′B是直角三角形，再根据平角定义求出结果；

（3）作BE⊥AQ，垂足为E，由∠BPQ=45°，P′B=，求出PE=BE=2，在Rt△ABE中，运用勾股定理求出AB，再由cos∠EAB=cos∠EBQ，求出BQ，则CQ=BC﹣BQ．

解：（1）∵△ADP沿点A旋转至△ABP′，

∴根据旋转的性质可知，△APD≌△AP′B，

∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，

∵∠PAD+∠PAB=90°，

∴∠P′AB+∠PAB=90°，

即∠PAP′=90°，

∴△APP′是等腰直角三角形；

（2）由（1）知∠PAP′=90°，AP=AP′=1，

∴PP′=，

∵P′B=PD=，PB=，

∴，

∴∠P′PB=90°，

∵△APP′是等腰直角三角形，

∴∠APP′=45°，

∴∠BPQ=180°﹣90°﹣45°=45°；

（3）作BE⊥AQ，垂足为E，

∵∠BPQ=45°，PB=，

∴PE=BE=2，

∴AE=2+1=3，

∴AB==，BE==2，

∵∠EBQ=∠EAB，cos∠EAB=，

∴cos∠EBQ==，

∴，

∴BQ=，

∴CQ==．