【题目】如图,正方形ABCD,将边CD绕点C顺时针旋转60°,得到线段CE,连接DE,AE,BD交于点F.
(1)求∠AFB的度数;
(2)求证:BF=EF;
(3)连接CF,直接用等式表示线段AB,CF,EF的数量关系.
【答案】(1)∠AFB=60°;(2)见解析;(3)AB+CF=2EF.
【解析】
(1)根据正方形的性质得∠ADB=45°,再有旋转图形的边相等,则对应的底角也相等求出∠DAE=∠DEA=15°,从而得到∠AFB=60°.
(2)由等边三角形及∠DEA=15°,得到∠CEF=∠CBF=45°,再结合已知根据SAS证明△ADF≌△CDF,再由角的代换证明出△ECF≌△BCF,从而证明BF=EF.
(3过C作CG⊥BD于G,由已知求出∠GCF=30°从而得到CF=2FG,设FG=x,从而求出AB+CF=2x+2x,EF=BF=BG+FG=x+x,最终得到AB+CF=2EF.
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADB=∠ADC=45°,
由旋转得:CD=CE,∠DCE=60°,
∴△DCE是等边三角形,
∴CD=DE=AD,∠ADE=90°+60°=150°,
∴∠DAE=∠DEA=15°,
∴∠AFB=∠FAD+∠ADB=15°+45°=60°;
(2)连接CF,
∵△CDE是等边三角形,
∴∠DEC=60°,
∵∠DEA=15°,
∴∠CEF=∠CBF=45°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADF=∠CDF=45°,
∵DF=DF,
∴△ADF≌△CDF(SAS),
∴∠DAF=∠DCF=15°,
∴∠FCB=90°﹣15°=75°,∠ECF=60°+15°=75°,
∴∠FCB=∠ECF,
∵CF=CF,
∴△ECF≌△BCF(SAS),
∴BF=EF;
(3)AB+CF=2EF,理由是:
过C作CG⊥BD于G,
∵∠CBD=45°,
∴△CGB是等腰直角三角形,
∵∠BCF=75°,
∴∠GCF=30°,
∴CF=2FG,
设FG=x,则CF=2x,CG=BG=x,
∴BC=AB=CG=x,
∴AB+CF=2x+2x,EF=BF=BG+FG=x+x,
∴AB+CF=2EF.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,把AB分成几条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设AB=a,那么⊙O的周长l=πa.
计算:(1)把AB分成两条相等的线段,每个小圆的周长;
(2)把AB分成三条相等的线段,每个小圆的周长l3= ;
(3)把AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长l4= ;
(4)把AB分成n条相等的线段,每个小圆的周长ln= .
结论:把大圆的直径分成n条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,那么每个小圆周长是大圆周长的 .请仿照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系.
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【题目】如图所示,一幢楼房AB背后有一台阶CD,台阶每层高0.2米,且AC=14.5米,NF=0.2米.设太阳光线与水平地面的夹角为α,当α=56.3°时,测得楼房在地面上的影长AE=10米,现有一只小猫睡在台阶的NF这层上晒太阳.
(1)求楼房的高度约为多少米?
(2)过了一会儿,当α=45°时,问小猫能否还晒到太阳?请说明理由.(参考数据:sin56.3°≈0.83,cos56.3°≈0.55,tan56.3°≈1.5)
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【题目】如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)在轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PA,PB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象经过点A,作AC⊥x轴于点C.
(1)求k的值;
(2)直线y=ax+b(a≠0)图象经过点A交x轴于点B,且OB=2AC.求a的值.
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【题目】二次函数y=ax2﹣2ax﹣3(a≠0)的图象经过点A.
(1)求二次函数的对称轴;
(2)当A(﹣1,0)时,
①求此时二次函数的表达式;
②把y=ax2﹣2ax﹣3化为y=a(x﹣h)2+k的形式,并写出顶点坐标;
③画出函数的图象.
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【题目】截长补短法,是初中几何题中一种添加辅助线的方法,也是把几何题化难为易的一种策略.截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等,补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起,从而解决问题.
(1)如图1,△ABC是等边三角形,点D是边BC下方一点,∠BDC=120°,探索线段DA、DB、DC之间的数量关系.
解题思路:延长DC到点E,使CE=BD,根据∠BAC+∠BDC=180°,可证∠ABD=∠ACE,易证△ABD≌△ACE,得出△ADE是等边三角形,所以AD=DE,从而解决问题.
根据上述解题思路,三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是;(直接写出结果)
(2)如图2,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.点D是边BC下方一点,∠BDC=90°,探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系,并证明你的结论.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°.M在AB上,且∠APM=∠APD,过点B作BN∥MP交DC于点N.
(1)求证:四边形PMBN是菱形;
(2)求证:ADBC=DPPC;
(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F,若DP=1,AD=2,求的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上,抛物线y=-x2+bx+c经过点B,C两点,点D为抛物线的顶点,连接AC,BD,CD.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABDC的面积.
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