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【题目】如图,正方形ABCD,将边CD绕点C顺时针旋转60°,得到线段CE,连接DEAEBD交于点F

(1)求∠AFB的度数;

(2)求证:BFEF

(3)连接CF,直接用等式表示线段ABCFEF的数量关系.

【答案】(1)∠AFB=60°;(2)见解析;(3)AB+CF=2EF

【解析】

(1)根据正方形的性质得∠ADB45°,再有旋转图形的边相等,则对应的底角也相等求出∠DAE=∠DEA15°,从而得到∠AFB60°.

(2)由等边三角形及∠DEA15°,得到∠CEF=∠CBF45°,再结合已知根据SAS证明ADF≌△CDF,再由角的代换证明出ECF≌△BCF,从而证明BFEF.

(3CCGBDG,由已知求出∠GCF30°从而得到CF2FGFGx,从而求出AB+CF2x+2xEFBFBG+FGx+x,最终得到AB+CF2EF.

解:(1)∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ADBADC45°

由旋转得:CDCE,∠DCE60°

∴△DCE是等边三角形,

CDDEAD,∠ADE90°+60°150°

∴∠DAE=∠DEA15°

∴∠AFB=∠FAD+ADB15°+45°60°

2)连接CF

∵△CDE是等边三角形,

∴∠DEC60°

∵∠DEA15°

∴∠CEF=∠CBF45°

∵四边形ABCD是正方形,

ADCD,∠ADF=∠CDF45°

DFDF

∴△ADF≌△CDFSAS),

∴∠DAF=∠DCF15°

∴∠FCB90°15°75°,∠ECF60°+15°75°

∴∠FCB=∠ECF

CFCF

∴△ECF≌△BCFSAS),

BFEF

3AB+CF2EF,理由是:

CCGBDG

∵∠CBD45°

∴△CGB是等腰直角三角形,

∵∠BCF75°

∴∠GCF30°

CF2FG

FGx,则CF2xCGBGx

BCABCGx

AB+CF2x+2xEFBFBG+FGx+x

AB+CF2EF

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(3)AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长l4   

(4)AB分成n条相等的线段,每个小圆的周长ln   

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