Question

【题目】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．

（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．

解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．

根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）

（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）DA＝DB＋DC；（2）DA＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2），证明详见解析.

【解析】

（1）由等边三角形知AB=AC，∠BAC=60°，结合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°，由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE，证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，再证△ADE是等边三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB．

（2）延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，先证△ABD≌△ACE得AD=AE，∠BAD=∠CAE，据此可得∠DAE=∠BAC=90°，由勾股定理知DA2+AE2=DE2，继而可得2DA2=（DB+DC）2.

解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE=BD，连接AE，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BDC=120°，

∴∠ABD+∠ACD=180°，

又∵∠ACE+∠ACD=180°，

∴∠ABD=∠ACE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∵∠ABC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°，

∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴DA=DE=DC+CE=DC+DB，即DA=DC+DB，

故答案为：DA=DC+DB；

（2） DA＝DB＋DC（或写成2DA2＝(DB＋DC)2）．

延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE．

∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，

∴∠ABD＋∠ACD＝180°．

∵∠ACE＋∠ACD＝180°，

∴∠ABD＝∠ACE．

又∵AB＝AC，CE＝BD，

∴△ABD≌△ACE．

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．

∴∠DAE＝∠BAC＝90°．

∴DA2＋AE2＝DE2．

∴2DA2＝(DB＋DC)2．

∴DA＝DB＋DC．