Question

7．如图，A、C两点在直线L上，AC=6，D为射线CM上一点，CD=7，若在A、C两点之间栓一根橡皮筋，“奋力牛”Q拉动橡皮筋在平面内爬行，爬行过程中始终保持QA=2QC．
（1）若Q点在直线L上，
①请在图中标出Q的位置；
②直接写出QC的长度，QC=2或6；
（2）在“奋力牛”爬行过程中，2QD+QA的最小值是14．

Answer 1

分析 （1）要分类讨论，当点Q在点C的左侧，当点Q在点C的右侧两种情况；
（2）因为QA=2QC，所以求2QD+QA的最小值就是求2QD+2QC的最小值．QD+QC≥CD，所以QD+QC最小值为CD=7，题中所求最小值为14．

解答 解：（1）①如图所示：点Q即为所求；
②（Ⅰ）当点Q在点C的左侧，
∵QA=2QC，
∴CQ=AC=6，
（Ⅱ）当点Q在点C的右侧，
∵QA=2QC，
∴CQ=$\frac{1}{3}$AC=2．
故答案为：6或2；

（2）∵QA=2QC，
∴2QD+QA=2QD+2QC，
∵QD+QC≥CD，
∴QD+QC的最小值=CD=7，
∴2QD+QA的最小值=14．
故答案为；14．

点评 本题考查了基本作图，线段和的最小值，特别是（1）要进行分类讨论．