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【题目】如图,在ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,

(1)求作⊙O,圆心OAD的中垂线与AB的交点,OD为半径.(尺规作图,不写作法,保留痕迹)

(2)求证:BC是⊙O切线.

(3)若BD=5,DC=3,求AC的长.

【答案】(1)作图见解析;(2)证明见解析;(3)6.

【解析】

(1)由中垂线的尺规作图得到点O,再作圆即可;

(2)要证BC是⊙O的切线,只要连接OD,再证ODBC即可.

(3)过点DDEAB,根据角平分线的性质可知CD=DE=3,由勾股定理得到BE的长,再通过证明BDE∽△BAC,根据相似三角形的性质得出AC的长.

解:(1)如图,⊙O即为所求;

(2)AD是∠BAC的平分线,

∴∠1=3.

OA=OD,

∴∠1=2.

∴∠2=3.

ODAC,

∴∠ODB=ACB=90°.

ODBC.

BC是⊙O切线.

(3)过点DDEAB,

AD是∠BAC的平分线,

CD=DE=3.

RtBDE中,∠BED=90°,

由勾股定理得:

∵∠BED=ACB=90°,B=B,

∴△BDE∽△BAC.

AC=6.

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