Question

1．已知关于x的方程x²+ax+a-1=0．
（1）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有实数根．

Answer 1

分析 （1）将x=2代入原方程中得出关于a的一元一次方程，解方程求出a值，再将a值代入原方程，解方程即可得出结论；
（2）由方程的各项系数结合根的判别式即可得出△=（a-2）²≥0，此题得证．

解答 （1）解：将x=2代入方程x²+ax+a-1=0中，得：4+2a+a-1=0，
解得：a=-1，
∴原方程为x²-x-2=（x+1）（x-2）=0，
解得：x₁=-1，x₂=2．
答：a的值为-1，方程的另一个根为-1．
（2）证明：在方程x²+ax+a-1=0中，△=a²-4（a-1）=a²-4a+4=（a-2）²≥0，
∴不论a取何实数，该方程都有实数根．

点评 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，将x的值代入原方程求出a值是解题的关键．