如图1.在平面直角坐标系中.C的坐标为.直线AB交x轴于点A.若点P以每秒0.5个单位长度的速度从B点沿y轴向上运动.设P点运动时间为t．(1)请用含t的式子表示OP的长度,(2)当P在线段BO之间运动时.连接AP并延长交BC于点H.在图1中.若存在AH⊥BC时.求t的值,的条件下.如图2.连接OH.求证:∠OHP=45°,(4)如图3.若D为AB中点.当点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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11．如图1，在平面直角坐标系中，C的坐标为（-1，0），直线AB交x轴于点A（4，0），交y轴于点B（0，-4），若点P以每秒0.5个单位长度的速度从B点沿y轴向上运动，设P点运动时间为t．
（1）请用含t的式子表示OP的长度；
（2）当P在线段BO之间运动时（不包括B、O两点），连接AP并延长交BC于点H，在图1中，若存在AH⊥BC时，求t的值；
（3）在（2）的条件下，如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；
（4）如图3，若D为AB中点，当点P在y正半轴上方运动时，过点D作DP⊥DN交x轴于N点，直接写出S_△BDP-S_△ADN的值．

分析（1）分0≤t≤8、t＞8两种情况，结合图形解答；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据AH⊥BC即可求得AH的解析式，即可解题；
（3）作OQ⊥AH，即可求得OQ=HQ，即可求得∠OHP=45°；
（4）设直线DN解析式为y=kx+b，代入D点可求得直线DM和DN的解析式，计算S_△BDM-S_△ADN的值即可解题

解答解：（1）∵点B的坐标为（0，-4），
∴OB=4，
当0≤t≤8时，OP=4-0.5t，
当t＞8时，OP=4+0.5t；
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-4x-4，
∵AH⊥BC，
∴设直线AH解析式为y=$\frac{1}{4}$x+b，
把点A（4，0）代入AH解析式，得b=-1，
∴AH解析式为y=$\frac{1}{4}$x-1，
当x=0时，y=-1，
则BP=OB-OP=3，
t=3÷0.5=6，
则AH⊥BC时，t=6秒；
（3）作OQ⊥AH，
∵OQ⊥AH，且直线OQ过O点，
∴OQ解析式为y=-4x，
∵直线AH解析式为y=$\frac{1}{4}$x-1，直线BC解析式为y=-4x-4，
设Q坐标为（x，-4x），则-4x=$\frac{1}{4}$x-1，
解得：x=$\frac{4}{17}$∴交点Q坐标为（$\frac{4}{17}$，-$\frac{16}{17}$），
设H坐标为（x，$\frac{1}{4}$x-1），则$\frac{1}{4}$x-1=-4x-4，
解得：x=-$\frac{12}{17}$，
∴点H坐标为（-$\frac{12}{17}$，-$\frac{20}{17}$），
∴QH=OQ，
∴∠OHP=45°；
（3）D点为AB中点，∴D（2，-2），
设直线DN解析式为y=kx+b，代入D点得b=-2-2k，
∴直线DN解析式为y=kx-2-2k，
∵直线DP⊥DN，代入D点得：直线DP解析式为y=-$\frac{1}{k}$x+$\frac{2}{k}$-2，
∴P点（0，$\frac{2}{k}$-2），N（$\frac{2}{k}$+2，0），
∴S_△BDP-S_△ADN=$\frac{1}{2}$×2（$\frac{2}{k}$-2+4）-$\frac{1}{2}$×2（$\frac{2}{k}$+2-4），
=$\frac{2}{k}$+2+2-$\frac{2}{k}$=4．

点评本题考查了平面直角坐标系中线段长度的求解，考查了一次函数在平面直角坐标系中的运用，本题中根据一次函数求点的坐标是解题的关键．

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