Question

13．如图，二次函数y=ax²-6ax+4a+3 的图象与y轴交于点A，点B是x轴上一点，其坐标为（1，0），连接AB，tan∠ABO=2．
（1）则点A的坐标为（0，2），a=-$\frac{1}{4}$；
（2）过点A作AB的垂线与该二次函数的图象交于另一点C，求点C的坐标；
（3）连接BC，过点A作直线l交线段BC于点P，设点B、点C到l的距离分别为d₁、d₂，求d₁+d₂的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数的定义可求得OA的长，则可求得OA，可求得A点坐标，代入二次函数解析式则可求得a的值；
（2）设直线AC交x轴于点D，则可求得∠DAO=∠ABO，则可求得OD的长，可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线AD的解析式，联立直线AD与抛物线解析式，可求得点C的坐标；
（3）连接AP，则S_△ABC=$\frac{1}{2}$AP•（d₁+d₂），可得到d₁+d₂=$\frac{2{S}_{△ABC}}{AP}$，可知当AP最小时，d₁+d₂有最大值，由垂线段最短可知当AP⊥BC时，d₁+d₂有最大值，由B、C的坐标可求得BC、AC、AB的长，利用等积法可求得此时AP的值，则可求得d₁+d₂最大值．

解答 解：
（1）∵点B是x轴上一点，其坐标为（1，0），
∴OB=1，
∵tan∠ABO=2，
∴$\frac{OA}{OB}$=2，
∴OA=2OB=2，
∴A（0，2），
∴4a+3=2，解得a=-$\frac{1}{4}$，
故答案为：（0，2）；-$\frac{1}{4}$；
（2）如图1，设直线AC交x轴于点D，

∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAO+∠OAB=∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠DAO=∠ABO，
∴tan∠DAO=2，即$\frac{DO}{AO}$=2，
∴DO=2AO=2×2=4，
∴D（-4，0），
设直线AD解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AD解析式为y=$\frac{1}{2}$x+2，
由（1）可得抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
联立直线AD和抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴C（4，4）；
（3）∵A（0，2），B（1，0），C（4，4），
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{{4}^{2}+（4-2）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=5，
连接AP，如图2，

∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AP•（d₁+d₂），
∴d₁+d₂=$\frac{2{S}_{△ABC}}{AP}$，
∴当AP最小时，d₁+d₂有最大值，
∴当AP⊥BC时，d₁+d₂有最大值，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AP，
∴5=$\frac{1}{2}$×5•AP，解得AP=2，
∴d₁+d₂=$\frac{2{S}_{△ABC}}{AP}$=$\frac{2×5}{2}$=5，即d₁+d₂的最大值为5．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及三角函数的定义、待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、勾股定理及最值问题等知识．在（1）中利用好三角函数的定义是解题的关键，在（2）中求得直线AD的解析式是解题的关键，在（3）中确定出使d₁+d₂的值最大时P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．