Question

17．在△ABC中，AB=4$\sqrt{2}$，BC=6，∠B=45°，D为BC边上一动点，将△ABC沿着过点D的直线折叠使点C落在AB边上，则CD的取值范围是6$\sqrt{2}$-6≤CD≤5．

Answer 1

分析 如图1中，当DE⊥AB时，DE最小，即CD最小，根据已知条件得到△DEB是等腰直角三角形，设CD=DE=x，则DE=EB=x，∠DEB=90°，DB=$\sqrt{2}$x，解直角三角形得到结论，②如图2中，当E与A重合时，DE最大，即CD最大，作AH⊥CB于H，设CD=DE=x，在Rt△AHB中，易知AH=HB=4，∠AHB=90°，HD=x-2，DE=x，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：①如图1中，∵CD=DE，
∴当DE⊥AB时，DE最小，即CD最小，
∵∠B=45°，
∴△DEB是等腰直角三角形，
设CD=DE=x，则DE=EB=x，∠DEB=90°，DB=$\sqrt{2}$x，
∵BC=6，
∴x+$\sqrt{2}$x=6，
∴x=6$\sqrt{2}$-6，
②如图2中，当E与A重合时，作AH⊥CB于H，设CD=DE=x，
在Rt△AHB中，易知AH=HB=4，∠AHB=90°，HD=x-2，DE=x，
∴x²=4²+（x-2）²，
∴x=5，
综上可知，CD的最大值为5，最小值为6$\sqrt{2}$-6，
∴CD的取值范围是6$\sqrt{2}$-6≤CD≤5，
故答案为6$\sqrt{2}$-6≤CD≤5．

点评 本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．