Question

5．如图1，在边长为4cm的菱形ABCD中，∠BAD═60°，动点P从点A出发，以4cm/s的速度，按照A→B→C的顺序匀速运动到C点停止，设运动时间为t秒，以点P为圆心，半径为r的圆随之运动，且半径r（cm）与时间t（s）的函数关系如图2，图中EF是一条平行于x轴的线段，FG是以点F为顶点的一段抛物线，当⊙P与对角线AC相切时，则动点P运动时间t的值为$\frac{1}{2}$秒或$\frac{7}{4}$秒．

Answer 1

分析 先根据图2得：0-1秒时，⊙P半径r不变都是1，1-2秒时，求出直线GH的关系式为：r═-$\frac{8}{9}$（t-1）²+1，根据菱形一个内角为60°得∠BAC=30°；当⊙P与对角线AC相切时，分两种情况进行讨论，分别在AB和BC上与AC相切，根据直角三角形30°角的性质列式求出对应的t值．

解答 解：如图2，∵顶点F（1，1）
设抛物线的解析式为：r=a（t-1）²+1，
把G（2，$\frac{1}{9}$）代入得：$\frac{1}{9}$=a（2-1）²+1，
解得：a=-$\frac{8}{9}$，
∴抛物线的解析式为：r=-$\frac{8}{9}$（t-1）²+1（1≤t≤2），

当⊙P与对角线AC相切时，分两种情况：
①当点P在AB上与AC相切时，如图1，
设切点为E，连接P₁E，则P₁E⊥AC，P₁E=r，
∵四边形ABCD为菱形，
∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
∴AP₁=2r=2，
∴t=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$；
②当点P在BC上与AC相切时，如图2，
设切点为F，连接P₂E，则P₂F⊥AC，P₂F=r，
则P₂C=2r，
∵P₂C=AB+BC-4t=8-4t，
则$\left\{\begin{array}{l}{2r=8-4t}\\{r=-\frac{8}{9}（t-1）^{2}+1}\end{array}\right.$，
解得：t=$\frac{7}{4}$，t=$\frac{5}{2}$（不合题意，舍去）
综上所述：当⊙P与对角线AC相切时，则运动时间t的值为$\frac{1}{2}$秒或$\frac{7}{4}$秒．
故答案为：$\frac{1}{2}$秒或$\frac{7}{4}$秒．

点评 本题考查了菱形的性质：①菱形的每一条对角线平分一组对角，②菱形的四边相等；圆的切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；以及一次函数图象的实际应用，本题是一个分段函数，从图象中读出⊙P的半径，并与方程相结合，采用了分类讨论的思想，使问题得以解决．