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【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE交于点F.
(1)求证:△AEC≌△ADB;
(2)若AB=2,∠BAC=45°,当四边形ADFC是菱形时,求BF的长.

【答案】
(1)

证明:由旋转的性质得:△ABC≌△ADE,且AB=AC,

∴AE=AD,AC=AB,∠BAC=∠DAE,

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠DAB,

在△AEC和△ADB中,

∴△AEC≌△ADB(SAS);


(2)

解:∵四边形ADFC是菱形,且∠BAC=45°,

∴∠DBA=∠BAC=45°,

由(1)得:AB=AD,

∴∠DBA=∠BDA=45°,

∴△ABD为直角边为2的等腰直角三角形,

∴BD2=2AB2,即BD=2

∴AD=DF=FC=AC=AB=2,

∴BF=BD﹣DF=2 ﹣2


【解析】(1)由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等,以及AB=AC,利用全等三角形对应边相等,对应角相等得到两对边相等,一对角相等,利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可;
    (2)根据∠BAC=45°,四边形ADFC是菱形,得到∠DBA=∠BAC=45°,再由AB=AD,得到三角形ABD为等腰直角三角形,求出BD的长,由BD﹣DF求出BF的长即可.此题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,以及菱形的性质,熟练掌握旋转的性质是解本题的关键.

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