Question

14．如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于点E．求证：
（1）四边形OCED是菱形．
（2）连接OE，若AD=4，CD=3，求菱形OCED的周长和面积．

Answer 1

分析 （1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD，即可判定四边形CODE是菱形，
（2）根据S_△ODC=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD以及四边形OCED的面积=2S_△ODC即可解决问题．

解答 解：（1）证明：∵DE∥OC，CE∥OD，
∵四边形OCED是平行四边形．
∴OC=DE，OD=CE
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD．
∴CE=OC=BO=DE．
∴四边形OCED是菱形；

（2）如图，连接OE．
在Rt△ADC中，AD=4，CD=3
由勾股定理得，AC=5∴OC=2.5
∴C_菱形OCED=4OC=4×2.5=10，
在菱形OCED中，OE⊥CD，又∵OE⊥CD，
∴OE∥AD．
∵DE∥AC，OE∥AD，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE=AD=4．
∴S_菱形OCED=$\frac{1}{2}CD•OE=\frac{1}{2}×3×4=6$．

点评 此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键，记住矩形的对角线把矩形分成面积相等的4个三角形，属于中考常考题型．