Question

4．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点；
（1）求出抛物线的表达式．
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
（3）在x轴上是否存在点F，使△ACF为等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线经过C（0，-2），则可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2，再把A（4，0），B（1，0）代入即可；
（2）过D作y轴的平行线交AC于E，将△DCA分割成两个三角形△CDE，△ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即△DCA的面积，运用代数式的变形求最大值．
（3）分三种情形①当CF=CA时，②当AC=AF时，③当FA=FC时，分别求解即可．

解答 解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
设该抛物线的解析式为y=ax²+bx-2．
将A（4，0），B（1，0）代入，
得 $\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-2=0}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴此抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x-2．

（2）如图，

设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
由题意可求得直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2．
∴E点的坐标为（t，$\frac{1}{2}$t-2）．
∴DE=-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t-2-（ $\frac{1}{2}$t-2）=-$\frac{1}{2}$t²+2t．
∴S_△DAC=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴当t=2时，△DAC面积最大．
∴D（2，1）．

（3）如图1中，

①当CF=CA时，可得点F₁（-4，0），
②当AC=AF时，∵AC=AF=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴F₂（4-2$\sqrt{5}$，0），F₃（4+2$\sqrt{5}$，0）．
③当FA=FC时，∵直线AC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴AC的中垂线的解析式为y=-2x+5，
∴可得F₄（$\frac{5}{2}$，0），
综上所述，点F的坐标为（-4，0）或（4-2$\sqrt{5}$，0）或（4+2$\sqrt{5}$，0）或（$\frac{5}{2}$，0）

点评 本题综合考查了待定系数法求函数解析式，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，掌握待定系数法的方法与步骤，会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形，学会分类讨论的思想考虑问题，属于中考常考题型．