Question

1．已知P（-3，m）和 Q（1，m）是抛物线y=x²+bx-3上的两点．
（1）求b的值；
（2）将抛物线y=x²+bx-3的图象向上平移k（是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值；
（3）将抛物线y=x²+bx-3的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y=x+n与这个新图象有两个公共点时，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接把点P，Q的坐标代入抛物线方程联立方程组求解b的值；
（2）利用图象与x轴无交点，则b²-4ac＜0，即可求出k的取值范围，进而得出k的值．
（3）求出两个边界点，继而可得出n的取值范围．

解答 解：（1）∵P（-3，m）和 Q（1，m）是抛物线y=x²+bx-3上的两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=9-3b-3}\\{m=1+b-3}\end{array}\right.$，解得：b=2；
（2）平移后抛物线的关系式为y=x²+2x-3+k．
要使平移后图象与x轴无交点，
则有b²-4ac=4-4（-3+k）＜0，
k＞4．
因为k是正整数，所以k的最小值为5．
（3）令x²+2x-3=0，
解之得：x₁=1，x₂=-3，
故P，Q两点的坐标分别为A（1，0），B（-3，0）．
如图，当直线y=x+n（n＜1），
经过P点时，可得n=3，
当直线y=x+n经过Q点时，
可得n=-1，
∴n的取值范围为-1＜n＜3，
翻折后的二次函数解析式为二次函数y=-x²-2x+3
当直线y=x+n与二次函数y=-x²-2x+3的图象只有一个交点时，
x+n=-x²-2x+3，
整理得：x²+3x+n-3=0，
△=b²-4ac=9-4（n-3）=21-4n=0，
解得：n=$\frac{21}{4}$，
∴n的取值范围为：n＞$\frac{21}{4}$，
由图可知，符合题意的n的取值范围为：n＞$\frac{21}{4}$或-1＜n＜3．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，关键是求出直线y=x+n经过点P、Q时n的值．同时考查了数形结合的思想．