Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1 ， A2B2C2D2 ， AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．


（1）已知A( 2，3)，B(5，0)，C( ， 2)．
①当 时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为；
②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，则t的值为；
（2）已知点D(1，1)，点E( ， )，其中点E是函数 的图像上一点，⊙P是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P的半径r的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）35.；t=-3或6.
（2）

解：如图1，

OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，

∵点D（1，1），

∴OD所在的直线表达式为y＝x，

∴点E的坐标为（2，2），

∴OE=，

∴⊙H的半径r ＝.

如图2，

∵当点E的纵坐标为1时，1＝，解得x＝4，

∴OE=，

∴⊙H的半径r =，

∴r．

【解析】此题考查反比例函数图象和性质和圆的知识的综合应用，正确理解最优覆盖矩形定义是解题关键，综合性强，有一定难度.