Question

11．已知边长为1的正七边形ABCDEFG中，对角线AD，BG的长分别为a，b（a≠b），求证：（a+b）²（a-b）=ab²．

Answer 1

分析 连结BD、EG、BE、DG，则BD=EG=GB=b，DG=BE=DA=a，DE=AB=AG=1，在四边形ABDG中，利用托勒密协定理可得ab=a+b，同理在四边形BDEG中，可得b=a²-b²=（a+b）（a-b），可得结论．

解答 证明：连结BD、EG、BE、DG，则BD=EG=GB=b，DG=BE=DA=a，DE=AB=AG=1，在四边形ABDG中，由托勒密协定理，得AD•BG=AB•DG+BD•AG，
即ab=a+b          ①，
同理在四边形BDEG中，得BE•DG=DE•BG+BD•GE，
即a²=b+b²，
∴b=a²-b²=（a+b）（a-b）    ②，
①×②，得ab²=（a+b）²（a-b）．

点评 本题主要考查了正多边形和圆，利用“在四边形中，两对角线的乘积是两组对边乘积的和”是解答此题的关键．