Question

2．在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=6cm，D、E、F分别为AB、AC边上的中点，若P为AB边上的一个动点，PQ⊥AB，交AC于Q，以PQ为一边，在点A的异侧作正方形PQMN，记正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为y．
（1）如图，当AP=5cm时，求y的值；
（2）设AP=xcm，试用含x（cm）的代数式表示y（cm²）；
（3）当y=3cm²时，试确定点P的位置．

Answer 1

分析 （1）先根据AP的长，求出PQ的值，然后看看正方形与矩形是否重合，若重合求出重合部分的线段的长，然后根据矩形的面积计算公式进行求解即可．
（2）要分四种情况进行讨论：
①当N在D点或D点左侧时，当正方形PQMN的边MN与矩形EDBF的边ED重合时，利用相似三角形的性质可得出x=3，即0＜x≤3时，此时正方形与矩形没有重合，因此y=0；
②当N在D点右侧，而P点在D点左侧或与D点重合时，即4＜x≤6，此时正方形与矩形重合的面积应该是以DN为长，NM为宽的矩形，DN=PN-PD=PN-（AD-AP）=x-（6-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{3}{2}$x-6．而NM=PQ=$\frac{1}{2}$x，因此重合部分的面积应该是y=（$\frac{3}{2}$x-6）×$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{4}$x²-3x；
③当P在D点右侧，而N点在B点左侧或与B点重合时，即6＜x≤8时，此时正方形重合部分的面积应该是以正方形边长为长，DE为宽的矩形的面积，PN=$\frac{1}{2}$x，DE=3，因此此时重合部分的面积是y=$\frac{1}{2}$x×3=$\frac{3}{2}$x；
④当P在B左侧时，而N点在AB延长线上时，即8＜x＜12时，此时重合部分的面积应该是以DE长为宽，PA长为长的矩形的面积．BP=AB-AP=12-x，BF=DE=3，因此此时重合部分的面积应该是y=（12-x）×3=36-3x．
（3）将y=3代入（2）的式子中，看看求出的x哪个符合条件即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=6cm，AB=12cm，
∴tanA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵D是AB中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AD=BD=6cm，DE=3cm，
∴Rt△APQ中，AP=5cm，
∴PQ=AP•tanA=5×$\frac{1}{2}$=2.5cm，
∴DN=AN-AD=AP+PN-AD=5+2.5-6=1.5，
∴重合部分的面积应该是y=DN×MN=2.5×1.5=3.75cm²；

（2）设AP=xcm，则：
①当N在D点或D点左侧时，当正方形PQMN的边MN与矩形EDBF的边ED重合时，利用相似三角形的性质可得出x=3，即0＜x≤2时，此时正方形与矩形没有重合，因此y=0；
②当N在D点右侧，而P点在D点左侧或与D点重合时，即4＜x≤6，此时正方形与矩形重合的面积应该是以DN为长，NM为宽的矩形，DN=PN-PD=PN-（AD-AP）=x-（6-$\frac{1}{2}$x）=$\frac{3}{2}$x-6．而NM=PQ=$\frac{1}{2}$x，因此重合部分的面积应该是y=（$\frac{3}{2}$x-6）×$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{4}$x²-3x；
③当P在D点右侧，而N点在B点左侧或与B点重合时，即6＜x≤8时，此时正方形重合部分的面积应该是以正方形边长为长，DE为宽的矩形的面积，PN=$\frac{1}{2}$x，DE=3，因此此时重合部分的面积是y=$\frac{1}{2}$x×3=$\frac{3}{2}$x；
④当P在B左侧时，而N点在AB延长线上时，即8＜x＜12时，此时重合部分的面积应该是以DE长为宽，PA长为长的矩形的面积．BP=AB-AP=12-x，BF=DE=3，因此此时重合部分的面积应该是y=（12-x）×3=36-3x；

（3）当0＜x≤4，y=3，即$\frac{3}{4}$x²-3x=3，解得：x=2+2$\sqrt{2}$，（负值舍去），
当6＜x≤8，y=3，即3=$\frac{3}{2}$x，解得：x=2，（不合题意舍去）
当8＜x＜12，y=3，即36-3x=3，解得x=11．
∴当x=2+2$\sqrt{2}$，或行11时，y=3．

点评 本题主要考查了直角三角形的性质，正方形的性质，中位线定理以及解直角三角形的应用等知识点，要注意（2）（3）中，正方形的位置不同时，函数解析式是不同的，要分类讨论，不要漏解．