Question

12．在平行四边形ABCD中，O是两条对角线的交点，直线m过点O，过A、C两点分别作直线m的垂线，垂足分别为E、F，当直线m绕点O旋转到与AD垂直（如图①）时，易证AE=CF；当直线m绕点O旋转到与AD不垂直时，如图②③，这两种情况下是否都有AE=CF成立？若成立，就请用图②给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 由在平行四边形ABCD中，O是两条对角线的交点，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA=OC，又由AE⊥EF，CF⊥EF，易证得△AOE≌△COF，继而证得结论．

解答 解：成立．
理由：∵在平行四边形ABCD中，O是两条对角线的交点，
∴OA=OC，
∵AE⊥EF，CF⊥EF，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
在△AOE和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEO=∠CFO}\\{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF．

点评 此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意平行四边形的对角线互相平分．