Question

1．如图1，直线x⊥y，垂足为O，A、B两点同时从点O出发，点A以每秒x个单位长度沿直线x向左运动，点B以每秒y个单位长度沿直线y向上运动．
（1）若|x+2y-5|+|2x-y|=0，试分别求出1秒钟后，线段OA、OB的长．
（2）如图2，设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P．问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．
（3）如图3，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．

Answer 1

分析 （1）|x+2y-5|+|2x-y|=0，根据非负数的性质得，x+2y-5≥0，2x-y≥0；由此解不等式即可求得，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动，∴A（-1，0），B（0，2）；
（2）不发生变化．要求∠P的度数，只要求出∠PAB+∠PBA的度数．利用三角形内角和定理得，∠P=180°-∠PAB-∠PBA；角平分线性质得，∠PAB=$\frac{1}{2}$∠EAB，∠PBA=$\frac{1}{2}$∠FBA，外角性质得，∠EAB=∠ABO+90°，∠FBA=∠BAO+90°，则可求∠P的度数；
（3）试求∠AGH和∠BGC的大小关系，找到与它们有关的角．如∠BAC，作GM⊥BF于点M，由已知有可得∠AGH与∠BGC的关系．

解答 解：（1）解方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5=0}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$，
得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴A（-1，0），B（0，2），
∴OA=1，OB=2；

（2）∠P的大小不发生变化，
∵∠P=180°-∠PAB-∠PBA
=180°-$\frac{1}{2}$（∠EAB+∠FBA）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABO+90°+∠BAO+90°）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+90°）
=180°-135°
=45°，
∴∠P的大小不会发生变化；

（3）∠AGH=∠BGC，理由如下：
作GM⊥BF于点M．
由已知有：∠AGH=90°-$\frac{1}{2}$∠EAC
=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）
=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∠BGC=∠BGM-∠CGM
=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC-（90°-$\frac{1}{2}$∠ACF）
=$\frac{1}{2}$（∠ACF-∠ABC）
=$\frac{1}{2}$∠BAC
∴∠AGH=∠BGC．

点评 本题考查了坐标与图形的性质，考查角平分线性质，三角形内角和定理，非负数的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．