Question

10．如图，四边形ABCD为矩形，AB=16cm．AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向B点移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动．
（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm²？
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q之间的距离第一次是10cm？
（3）在运动过程中，点P和点Q之问的距离可能是18cm吗？如果可能，求出运动时间t，如果不可能，请说明理由．（$\sqrt{2}$取1.4）

Answer 1

分析 （1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm²，则PB=（16-3x）cm，QC=2xcm，根据梯形的面积公式可列方程：$\frac{1}{2}$（16-3x+2x）×6=33，解方程可得解；
（2）作QE⊥AB，垂足为E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解；
（3）根据勾股定理得到矩形ABCD对角线的长，再与18cm比较大小即可作出判断．

解答 解：（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm²，
则PB=（16-3x）cm，QC=2xcm，
根据梯形的面积公式得$\frac{1}{2}$（16-3x+2x）×6=33，
解得x=5；
答：P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm²；

（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE=AD=6，PQ=10，
∵PA=3t，CQ=BE=2t，
∴PE=AB-AP-BE=|16-5t|，
由勾股定理，得（16-5t）²+6²=10²，
解得t₁=4.8（舍去），t₂=1.6．
答：从出发到1.6秒时，点P和点Q的距离是10cm．

（3）∵$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{6}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{292}$＜18，
∴在运动过程中，点P和点Q之问的距离不可能是18cm．

点评 考查了一元二次方程的应用，（1）主要用到了梯形的面积公式：S=$\frac{1}{2}$（上底+下底）×高；（2）作辅助线是关键，构成直角三角形后，用了勾股定理．