Question

9．问题发现：
如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段BD与CE的数量关系．
拓展探究：
如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，且点B，D，E在同一直线上，AF⊥BE于F，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）首先根据△ACB和△DAE均为等边三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，据此判断出∠BAD=∠CAE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD=CE，∠BDA=∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；
（2）首先根据△ACB和△DAE均为等腰直角三角形，可得AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∠ADE=∠AED=45°，据此判断出∠BAD=∠CAE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD=CE，∠ADB=∠AEC，进而判断出∠BEC的度数为90°即可；最后根据∠DAE=90°，AD=AE，AF⊥DE，
得到AF=DF=EF，于是得到结论．

解答 解：（1）∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠BDA=∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB=180-60=120°，
∴∠AEC=120°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120-60=60°，
综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD=CE．

（2）∵△ACB和△DAE均为等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∠ADE=∠AED=45°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADB=180-45=135°，
∴∠AEC=135°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135-45=90°；
∵∠DAE=90°，AD=AE，AF⊥DE，
∴AF=DF=EF，
∴DE=DF+EF=2AF，
∴BF=BD+DF=CE+AF．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件；
此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．