Question

14．如图，半径为5的⊙O中，AB是直径，弦BC=8，OD⊥AB交BC于D，求CD的长及△OCD的面积．

Answer 1

分析 过点O作OE⊥CD于点E，根据相似三角形的判定定理可得出△ODE∽△BOE，再由相似三角形的对应边成比例可求出OD的长，由勾股定理得出DE的长，进而得出CD的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：过点O作OE⊥CD于点E，
∵BC=8，
∴CE=BE=4，OE=3．
∵OD⊥AB，
∴∠BEO=∠OED=90°，
∵∠ODE+∠OBE=90°，∠ODE+∠DOE=90°，
∴∠DOE=∠OBE，
∴△ODE∽△BDO，
∴$\frac{OE}{BE}$=$\frac{DE}{OE}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{DE}{3}$，解得DE=$\frac{9}{4}$，
∴CD=CE-DE=4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$CD•OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{7}{4}$×3=$\frac{21}{8}$．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．