Question

2．如图，在等腰Rt△ABC中，A（a，1）、B（0，b），且OA=OC，求直线AB的解析式．

Answer 1

分析 过A作AE⊥x轴于E．则OA=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，AC=2OA=2$\sqrt{{a}^{2}+1}$，AB=AC=2$\sqrt{{a}^{2}+1}$．在直角△OAB中，利用勾股定理得出b²=（$\sqrt{{a}^{2}+1}$）²+（2$\sqrt{{a}^{2}+1}$）²，整理得到b=$\sqrt{5（{a}^{2}+1）}$．过A作AN⊥y轴于N，根据S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•AB=$\frac{1}{2}$OB•AN，得出$\sqrt{{a}^{2}+1}$•2$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{5（{a}^{2}+1）}$•（-a），解方程求出a=-2，那么b=$\sqrt{5×（4+1）}$=5，于是A（-2，1）、B（0，5），然后设直线AB的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求解．

解答 解：过A作AE⊥x轴于E．
∵A（a，1），
∴AE=1，OE=-a，
∴OA=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
∴AC=2OA=2$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
∴AB=AC=2$\sqrt{{a}^{2}+1}$．
在直角△OAB中，∵OB²=OA²+AB²，
∴b²=（$\sqrt{{a}^{2}+1}$）²+（2$\sqrt{{a}^{2}+1}$）²，
∴b²=5a²+5，
∴b=$\sqrt{5（{a}^{2}+1）}$．
过A作AN⊥y轴于N，则ON=AE=1，BN=b-1．
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•AB=$\frac{1}{2}$OB•AN，
∴$\sqrt{{a}^{2}+1}$•2$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{5（{a}^{2}+1）}$•（-a），
∴2$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$•（-a），
∴4（a²+1）=5a²，
∴a²=4，
∴a=-2，
∴b=$\sqrt{5×（4+1）}$=5，
∴A（-2，1）、B（0，5）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{b=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=5}\end{array}\right.$，
所以直线AB的解析式为y=2x+5．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，准确作出辅助线，求出a的值是解题的关键．