Question

17．已知：正方形ABCD的边长为6，点E为BC的中点，点F在AB边上，BF=2AF．画出∠EDF，猜想∠EDF的度数并写出计算过程．
解：∠EDF的度数为45°．
计算过程如下：

Answer 1

分析 根据题意画出图形，进一步作出辅助线，利用三角形全等，勾股定理，以及正方形的性质解决问题即可．
方法一：连接EF，作FG⊥DE于点G，利用勾股定理得出Rt△DFG和Rt△EFG中，有FG²=DF²-DG²=EF²-EG²，求得DG=DF，得出结论；
方法二：延长BC到点H，使CH=AF，连接DH，EF，证得△ADF≌△CDH和△DEF≌△DEH得出结论．

解答 解：所画∠EDF如图所示，
∠EDF的度数为45．
 

解法一：如图，

连接EF，作FG⊥DE于点G． 
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠A=∠B=∠C=90°．
∵点E为BC的中点，
∴BE=EC=3．
∵点F在AB边上，BF=2AF，
∴AF=2，BF=4．
在Rt△ADF中，∠A=90°，
DF²=AD²+AF²=6²+2²=40．
在Rt△BEF，Rt△CDE中，
同理有EF²=BE²+BF²=3²+4²=25，DE²=CD²+CE²=6²+3²=45．
在Rt△DFG和Rt△EFG中，有FG²=DF²-DG²=EF²-EG²．
设DG=x，则40-x²=25-（3$\sqrt{5}$-x）²． 
整理，得
6$\sqrt{5}$x=60．
解得 x=2$\sqrt{5}$，即DG=2$\sqrt{5}$． 
∴FG=$\sqrt{D{F}^{2}-D{G}^{2}}$．
∴DG=FG．
∵∠DGF=90°，
∴∠EDF=$\frac{180°-∠DGF}{2}$=45°． 
解法二：如图，

延长BC到点H，使CH=AF，连接DH，EF．
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠A=∠B=∠ADC=∠DCE=90°．
∴∠DCH=180°-∠DCE=90°，∠A=∠DCH．
在△ADF和△CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠A=∠DCH}\\{AF=CH}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDH（SAS） 
∴DF=DH，∠1=∠2．
∴∠FDH=∠FDC+∠2=∠FDC+∠1=∠ADC=90°．
∵点E为BC的中点，
∴BE=EC=3．
∵点F在AB边上，BF=2AF，
∴CH=AF=2，BF=4．
∴EH=CE+CH=5．
在Rt△BEF中，∠B=90°，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$．
∴EF=EH．
又∵DE=DE，
在△DEF和△DEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DH}\\{EF=EH}\\{DE=DE}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DEH（SSS） 
∴∠EDF=∠EDH=$\frac{∠FDH}{2}$=45°．
故答案是：45°．

点评 此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，利用了转化的数学思想方法．