Question

如图，在平面直角坐标系中，以（1，0）为圆心的⊙P与y轴相切于原点O，过点A（-1，0）的直线AB与⊙P相切于点B．
（1）求AB的长；
（2）求AB、OA与所围成的阴影部分面积（不取近似值）；
（3）求直线AB的解析式；
（4）直线AB上是否存在点M，使OM+PM的值最小？如果存在，请求出点M的坐标；如果不存在，请说理．

Answer 1

解：（1）连接PB
∵点A、P的坐标分别为（-1，0）、（1，0），
∴OA=OP=1，
∴PA=2．
∵直线AB与⊙P相切于点B，
∴PB⊥AB，
∴∠ABP=90°
又∵⊙P与y轴相切于原点O，
∴PB=OP=1，
∴AB=；

（2）连接OB
∵∠ABP=90°，OA=OP，
∴OB=OP=AP，
又∵PB=OP，
∴PB=OP=OB，
∴∠OPB=60°，
∴S_阴影=S_△ABP-S_扇形POB
=××1-
=；

（3）设直线AB与y轴相交于点C
∵∠OPB=60°，∠ABP=90°，
∴∠BAP=180°-60°-90°=30°，
∴在Rt△OAC中，OC=AC，
设OC=x，则AC=2x，
依题意得（2x）²=x²+1²，
解得x=，
∵x＞0，
∴x=；
∴点C坐标为（0，），
可设直线AB的解析式为y=kx+（k≠0），
∵直线AB过点A（-1，0），
∴-1•k+=0，
∴k=；
∴直线AB的解析式为y=x+；

（4）延长PB交y轴于点N
在Rt△OPN中，∠ONP=180°-60°-90°=30°，
∴PN=2PO=1×2=2，
∴BN=PN-PB=1=PB；
又∵PB⊥AB，
∴直线AB是线段PN的垂直平分线，点P、N关于直线AB成轴对称
∴ON与直线AB的交点C就是所求的点M．
故直线AB上存在点M，使OM+PM的值最小，点M即点C（0，）．
分析：（1）连接PB，由于A、P的坐标已知，因此求出OA、AP的长度，由直线AB与⊙P相切于点B，利用切割线定理可以求出AB的长度；
（2）连接OB，根据已知条件知道C为AP的中点，利用（1）的结果可以得到∠OPB=60°，而S_阴影=S_△ABP-S_扇形POB，因此即可求出阴影部分面积；
（3）设直线AB与y轴相交于点C，根据已知条件可以得到∠BAP=30°，而OA=1，因此可以求出CO的长度，即求出了C的坐标，而A的坐标已知，再利用待定系数法即可求出AB的解析式；
（4）延长PB交y轴于点N，根据已知条件可以求出∠ONP=30°，然后得到PN=2PO=2，接着得到BN=PN-PB=1=PB，所以直线AB是线段PN的垂直平分线，点P、N关于直线AB成轴对称，即ON与直线AB的交点C就是所求的点M，然后即可求出M的坐标．
点评：此题比较复杂，考查了一次函数的图象和性质、圆的切线的性质、待定系数法确定直线的解析式、解直角三角形及轴对称的性质及应用，综合性非常强，对于学生的要求很高，解题时一定要有耐心．