Question

19．如图，矩形OABC的两个顶点A，C分别在y轴和x轴上，边AB和BC与反比例函数y₁=$\frac{4}{x}$（x＞0）和y₂=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）图象交于E，F和点H，G．AE：AF=2：3．
（1）求反比例函数y₂的解析式；
（2）若点C的坐标为（8，0），求GH的长．

Answer 1

分析 （1）设E（a，b），根据已知条件求得F（$\frac{3}{2}$a，b），分别代入解析式得出ab=4，$\frac{3}{2}$a•b=k，从而求得k=6，D得出反比例函数y₂的解析式；
（2）把x=8分别代入y₁=$\frac{4}{x}$和y₂=$\frac{6}{x}$，即可求得CG、CH的值，然后根据GH=CG-CH即可求得．

解答 解：（1）设E（a，b），
∴AE=a，
∵AE：AF=2：3．
∴AF=$\frac{3}{2}$a，
∴F（$\frac{3}{2}$a，b），
∵E是反比例函数y₁=$\frac{4}{x}$（x＞0）上的点，
∴ab=4，
∵F是反比例函数$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）图象上的点，
∴$\frac{3}{2}$a•b=k，
∴k=$\frac{3}{2}$×4=6，
∴反比例函数y₂的解析式为y₂=$\frac{6}{x}$．
（2）把x=8分别代入y₁=$\frac{4}{x}$和y₂=$\frac{6}{x}$得，y₁=$\frac{1}{2}$和y₂=$\frac{3}{4}$，
∴CH=$\frac{1}{2}$，CG=$\frac{3}{4}$，
∴GH=CG-CH=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．