Question

【题目】二次函数y=ax2+c的图象经过点A（﹣4，3），B（﹣2，6），点A关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是抛物线对称轴右侧图象上的一点，点G（0，﹣1）．

（1）求出点C坐标及抛物线的解析式；

（2）若以A，C，P，G为顶点的四边形面积等于30时，求点P的坐标；

（3）若Q为线段AC上一动点，过点Q平行于y轴的直线与过点G平行于x轴的直线交于点M，将△QGM沿QG翻折得到△QGN，当点N在坐标轴上时，求Q点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+7，点C的坐标为（4，3）；（2）P点坐标为（，）或（6，﹣2）；（3）Q点坐标为（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）或（﹣，3）或（，3）．

【解析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线的对称性确定C点坐标；

（2）设P（x，﹣x2+7）（x＞0），讨论：当点P在AC上方时，如图1，利用S四边形AGCP=S△GAC+S△PAC列方程84+8（﹣x2+7﹣3）=30，当点P在AC下方时，如图2，AC与y轴交于点E，利用S四边形AGPC=S△GAE+S△PEG+S△PEC列方程44+x4+4（3+x2﹣7）=30，然后分别解方程可得到对应的P点坐标；

（3）当点N落在y轴上，如图3，利用折叠性质得∠QNG=∠QMG=90°，QN=QM=4，易得Q点的坐标；当点N落在x轴上，QM与x轴交于点F，如图4，设Q（t，3）（﹣4≤t＜0），利用折叠性质得∠QNG=∠QMG=90°，QN=QM=4，GN=GM=﹣t，由于FN=，OF=﹣t，ON=，则﹣t=，解方程得到此时Q点的坐标，当0＜t≤4，同理可得Q点的坐标．

（1）∵二次函数y=ax2+c的图象经过点A（﹣4，3），B（﹣2，6），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+7．

∵二次函数y=ax2+c的图象的对称轴为y轴，点A（﹣4，3），∴点C的坐标为（4，3）．

（2）设P（x，﹣x2+7）（x＞0），当点P在AC上方时，如图1，S四边形AGCP=S△GAC+S△PAC=84+8（﹣x2+7﹣3），∴84+8（﹣x2+7﹣3）=30，解得：x1=，x2=﹣（舍去），此时P点坐标为（）；

当点P在AC下方时，如图2，AC与y轴交于点E，S四边形AGPC=S△GAE+S△PEG+S△PEC=44+x4+4（3+x2﹣7），∴44+x4+4（3+x2﹣7）=30，解得：x1=6，x2=﹣10（舍去），此时P点坐标为（6，﹣2）．

综上所述：P点坐标为（）或（6，﹣2）；

（3）QN=3﹣（﹣1）=4，当点N落在y轴上，如图3．

∵△QGM沿QG翻折得到△QGN，∴∠QNG=∠QMG=90°，QN=QM=4，∴N点为AC与y轴的交点，∴Q点的坐标为（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）；

当点N落在x轴上，QM与x轴交于点F，如图4，设Q（t，3）（﹣4≤t＜0）

∵△QGM沿QG翻折得到△QGN，∴∠QNG=∠QMG=90°，QN=QM=4，GN=GM=﹣t．在Rt△OFN中，FN==，而OF=﹣t，ON=﹣t=，解得：t=﹣，此时Q点的坐标为（﹣，3），当0＜t≤4，易得Q点的坐标为（，3）．

综上所述：Q点坐标为（﹣4，3）或（﹣4，﹣3）或（﹣，3）或（，3）．