【题目】如图,Rt△ABC中,BC=4,AC=8,Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上,点A与原点重合,随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动,点B也沿着x轴向点O滑动,直到与点O重合时运动结束.在这个运动过程中.
(1)AB中点P经过的路径长_____.
(2)点C运动的路径长是_____.
【答案】 π 8﹣12
【解析】(1)根据直角三角形斜边中线等于斜边一半,确定中点P的运动路径:以O为圆心,以OP为半径的圆弧,半径OP=AB=2,代入周长公式计算即可;
(2)分为两种情况:
①当A从O到现在的点A处时,如图2,此时C′A⊥y轴,点C运动的路径长是CC′的长;
②当A再继续向上移动,直到点B与O重合时,如图3,此时点C运动的路径是从C′到C,长是CC′;
分别计算并相加.
(1)如图1.
∵∠AOB=90°,P为AB的中点,∴OP=AB.
∵AB=4,∴OP=2,∴AB中点P运动的轨迹是以O为圆心,以OP为半径的圆弧,即AB中点P经过的路径长=×2×2π=π;
(2)①当A从O到现在的点A处时,如图2,此时C′A⊥y轴,点C运动的路径长是CC′的长,∴AC′=OC=8.
∵AC′∥OB,∴∠AC′O=∠COB,∴cos∠AC′O=cos∠COB===,∴OC′=4,∴CC′=4﹣8;
②当A再继续向上移动,直到点B与O重合时,如图3,此时点C运动的路径是从C′到C,长是CC′,CC′=OC′﹣BC=4﹣4.
综上所述:点C运动的路径长是:4﹣8+4﹣4=8﹣12;
故答案为:(1)π; (2)8﹣12.
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【题目】已知x1,x2,x3,x2019都是不等于0的有理数,若,求y1的值.
当x1>0时,;当x1<0时,,所以y1=±1,值有两个.
(1)若,求y2的值为 ;
(2)若,则y3的值为 ;
(3)由以上探究猜想,共有 个不同的值,在y2019这些不同的值中,最大的值和最小的值的差等于 .
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【题目】若一个三位数百位上数字是,十位上数字是.个位上数字是,则这个三位数可记作
(1)若一个两位数.满足关系式.
①试求出的数量关系:
②请直接写出满足关系式的所有两位数.
(2)将一个三位数,其中.现将三位数中间数字去掉,成为一个两位数且满足.请直接写出所有符合条件的三位数.
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【题目】小东根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程,请补充完整,并解决相关问题:
(1)函数的自变量x的取值范围是 ;
(2)下表是y与x的几组对应值.
x | … | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | ||||||
y | … | 2 | 4 | 2 | m | … |
表中m的值为________________;
(3)如图,在平面直角坐标系中,描出了以上表中各对对应值为坐标的点. 根据描出的点,画出函数的大致图象;
(4)结合函数图象,请写出函数的一条性质:______________________.
(5)解决问题:如果函数与直线y=a的交点有2个,那么a的取值范围是______________ .
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连结DE,EF.
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(2)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
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【题目】若任意一个代数式,在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内,则称这个代数式是这个范围的“友好代数式”.例如:关于的代数式,当时,代数式在时有最大值,最大值为1;在时有最小值,最小值为0,此时最值1,0均在(含端点)这个范围内,则称代数式是的“友好代数式”.
(1)若关于的代数式,当时,取得的最大值为________;最小值为________;代数式________(填“是”或“不是”)的“友好代数式”;
(2)以下关于的代数式,是的“友好代数式”的是________;
①;②;③;
(3)若关于的代数式是的“友好代数式”,则的值是________;
(4)若关于的代数式是的“友好代数式”,求的最大值和最小值.
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【题目】二次函数y=ax2+c的图象经过点A(﹣4,3),B(﹣2,6),点A关于抛物线对称轴的对称点为点C,点P是抛物线对称轴右侧图象上的一点,点G(0,﹣1).
(1)求出点C坐标及抛物线的解析式;
(2)若以A,C,P,G为顶点的四边形面积等于30时,求点P的坐标;
(3)若Q为线段AC上一动点,过点Q平行于y轴的直线与过点G平行于x轴的直线交于点M,将△QGM沿QG翻折得到△QGN,当点N在坐标轴上时,求Q点的坐标.
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【题目】在一个不透明的口袋中装有4个红球,3个白球,2个黄球,每个球除颜色外都相同.
(1)请判断下列事件是不确定事件、不可能事件还是必然事件,填写在横线上.
①从口袋中任意摸出1个球是白球;
②从口袋中任意摸出4个球全是白球;
③从口袋中任意摸出1个球是红球或黄球;
④从口袋中任意摸出8个球,红、白、黄三种颜色的球都有;
(2)请求出(1)中不确定事件的概率.
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【题目】如图,一次函数 yax 2(a0) 的图象与反比例函数 y(k0) 的图象交于 A、B两点,且与x轴、y轴分别交于点C、D.已知 tan∠AOC=,AO=.
(1)求这个一次函数和反比例函数的解析式;
(2) 若点 F 是点D 关于 x 轴的对称点,求△ABF 的面积.
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