【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连结DE,EF.
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(2)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
【答案】(1)能,理由详见解析;(2)当t=或12秒时,△DEF为直角三角形
【解析】
(1)能.首先证明四边形AEFD为平行四边形,当AE=AD时,四边形AEFD为菱形,即60-4t=2t,解方程即可解决问题;
(2)分三种情形讨论①当∠DEF=90°时,②当∠EDF=90°时.③当∠EFD=90°,分别求解即可
解:(1)能.
理由:在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=4t,
∴DF=2t,
又∵AE=2t,
∴AE=DF,
∵AB⊥BC,DF⊥BC,
∴AE∥DF,
又∵AE=DF,
∴四边形AEFD为平行四边形,
当AE=AD时,四边形AEFD为菱形,
即60-4t=2t,解得t=10.
∴当t=10秒时,四边形AEFD为菱形;
(2)①当∠DEF=90°时,由(1)知四边形AEFD为平行四边形,
∴EF∥AD,
∴∠ADE=∠DEF=90°,
∵∠A=60°,
∴∠AED=30°,
∴AD=AE=t,又AD=60-4t,即60-4t=t,
解得t=12;
②当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,
在Rt△AED中∠A=60°,则∠ADE=30°,
∴AD=2AE,
即60-4t=4t,解得t=;
③若∠EFD=90°,则E与B重合,
D与A重合,此种情况不存在.
综上所述,当t=或12秒时,△DEF为直角三角形
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【题目】列二元一次方程组解应用题:某大型超市投入15000元资金购进A、B两种品牌的矿泉水共600箱,矿泉水的成本价和销售价如下表所示:
(1)该大型超市购进A、B品牌矿泉水各多少箱?
(2)全部销售完600箱矿泉水,该超市共获得多少利润?
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【题目】点为数轴上的两点,点对应的数为,点对应的数为3,.
(1)求两点之间的距离;
(2)若点为数轴上的一个动点,其对应的数记为,试猜想当满足什么条件时,点到点的距离与点到点的距离之和最小.请写出你的猜想,并说明理由:
(3)若为数轴上的两个动点(点在点右侧), 两点之间的距离为,当点到A点的距离与点到点的距离之和有最小值4时,的值为_________.
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【题目】威丽商场销售A、B两种商品,售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元;售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元.
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元?
(2)由于需求量大,A、B两种商品很快售完,威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件,如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元,那么威丽商场至少需购进多少件A种商品?
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【题目】(10分)在Rt△ABC中,∠BAC=,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证:△AEF≌△DEB;
(2)证明四边形ADCF是菱形;
(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCFD 的面积.
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【题目】如图,Rt△ABC中,BC=4,AC=8,Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上,点A与原点重合,随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动,点B也沿着x轴向点O滑动,直到与点O重合时运动结束.在这个运动过程中.
(1)AB中点P经过的路径长_____.
(2)点C运动的路径长是_____.
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【题目】已知如图:点(1,3)在函数y=(x>0)的图象上,矩形ABCD的边BC在x轴上,E是对角线BD的中点,函数y=(x>0)的图象又经过A、E两点,点E的横坐标为m,解答下列问题:
(1)求k的值;
(2)求点A的坐标;(用含m代数式表示)
(3)当∠ABD=45°时,求m的值.
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【题目】如图所示,为测量旗台A与图书馆C之间的直线距离,小明在A处测得C在北偏东30°方向上,然后向正东方向前进100米至B处,测得此时C在北偏西15°方向上,求旗台与图书馆之间的距离.(结果精确到1米,参考数据≈1.41,≈1.73)
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【题目】如图,四边形ABCD为正方形,H是AD上任意一点,连接CH,过B作BM⊥CH于M,交AC于F,过D作DE∥BM交AC于E,交CH于G,在线段BF上作PF=DG,连接PG,BE,其中PG交AC于N点,K为BE上一点,连接PK,KG,若∠BPK=∠GPK,CG=12,KP:EF=3:5,求 的值为__.
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