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【题目】如图,在RtABC中,∠B90°AC60 cm,∠A60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点DE运动的时间是t(0t≤15).过点DDFBC于点F,连结DEEF.

(1)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;

(2)t为何值时,DEF为直角三角形?请说明理由.

【答案】(1)能,理由详见解析;(2)当t12秒时,DEF为直角三角形

【解析】

1)能.首先证明四边形AEFD为平行四边形,当AE=AD时,四边形AEFD为菱形,即60-4t=2t,解方程即可解决问题;

2)分三种情形讨论①当∠DEF=90°时,②当∠EDF=90°时.③当∠EFD=90°,分别求解即可

解:(1)能.

理由:在△DFC中,∠DFC90°∠C30°DC4t

∴DF2t

∵AE2t

∴AEDF

∵AB⊥BCDF⊥BC

∴AE∥DF

∵AEDF

四边形AEFD为平行四边形,

AEAD时,四边形AEFD为菱形,

604t2t,解得t10.

t10秒时,四边形AEFD为菱形;

(2)①∠DEF90°时,由(1)知四边形AEFD为平行四边形,

∴EF∥AD

∴∠ADE∠DEF90°

∵∠A60°

∴∠AED30°

∴ADAEt,又AD604t,即604tt

解得t12

∠EDF90°时,四边形EBFD为矩形,

Rt△AED∠A60°,则∠ADE30°

∴AD2AE

604t4t,解得t

∠EFD90°,则EB重合,

DA重合,此种情况不存在.

综上所述,当t12秒时,△DEF为直角三角形

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