【题目】如图,四边形ABCD为正方形,H是AD上任意一点,连接CH,过B作BM⊥CH于M,交AC于F,过D作DE∥BM交AC于E,交CH于G,在线段BF上作PF=DG,连接PG,BE,其中PG交AC于N点,K为BE上一点,连接PK,KG,若∠BPK=∠GPK,CG=12,KP:EF=3:5,求 的值为__.
【答案】
【解析】分析: 连接DF,构建菱形EBFD和平行四边形GPFD,证明KP∥EF,得△BPK∽△BFE,列比例式为PK:EF=BP:BF=3:5,设BP=3x,BF=5x,则PF=CM=DG=2x,EG=3x,根据BM=12列方程解出x的值,计算EG的长;设AC与KG交于点O,过K作KP⊥AC于P,过G作GQ⊥AC于Q,则KP∥GQ,根据同角的三角函数求KP、GQ、OP、OQ的长,证明△KPO∽△GQO,根据相似比为2:3分别求OK、OG的长,并相加即可得KG的长,最后计算比值即可.
详解: 连接DF,
∵四边形ABCD为正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,
∴∠BCM+∠MCD=90°,
∵BM⊥CH,
∴∠BMC=90°,
∴∠BCM+∠MBC=90°,
∴∠MCD=∠MBC,
∵DE∥BM,
∴∠DGC=∠BMG=90°,
∴∠DGC=∠BMC=90°,
∴△BMC≌△CGD,
∴BM=CG=12,CM=DG,
∵PF=DG,
∴PF=DG=CM,
在△ABE和△ADE中,
∵AB=AD,
∠BAE=∠DAE=45°,
AE=AE,
∴△ABE≌△ADE(SAS),
∴BE=ED,∠AEB=∠AED,
∴∠BEF=∠FED,
∵DE∥BM,
∴∠DEF=∠EFB,
∴∠BEF=∠EFB,
∴BE=BF,
∴BE=BF=ED,
∴四边形EBFD是菱形,
∴∠BFE=∠EFD,
∴GD=PF,GD∥PF,
∴四边形GPFD是平行四边形,
∴GP∥DF,
∴∠BPG=∠BFD,
∵∠BPK=∠KPG,
∴2∠BPK=2∠BFE,
∴∠BPK=∠BFE,
∴PK∥EF,
∴△BPK∽△BFE,
∴PK:EF=BP:BF=3:5,
设BP=3x,BF=5x,则PF=CM=DG=2x,EG=3x,
∵FM∥DE,
∴△CFM∽△CEG,
∴FM:EG=CM:CG,
∴FM:3x=2x:12,
∴FM=,
∵BM=12,
∴BF+FM=12,
5x+=12,
解得:x1=2,x2=-12(舍),
∴EG=3x=6;FM==2,CM=2x=4,
∵∠BKP=∠BPK,
∴BK=BP=3x=6,
∵BF=5x=10,
∴EK=10-6=4,
设AC与KG交于点O,过K作KP⊥AC于P,过G作GQ⊥AC于Q,则KP∥GQ,
∵∠BEF=∠DEF,
∴EK:EG=OK:OG=4:6=2:3,
∵∠BEF=∠BFE=∠CFM,
∴tan∠BEF=tan∠CFM=CM:FM=KP:EP=4:2=2,
∵EK=4,
∴KP=,EP=
,
同理得:GQ=,EQ=
,
∴PQ=EQ-EP=-
=
,
∵KP∥GQ,
∴△KPO∽△GQO,
∴OPOQ=OKOG=23,
∴OPPQ=,
∴OP=×PQ=
×
=
,
由勾股定理得:OK==
=
,
∴OG=,
∴KG=OK+OG=,
∴;
故答案为:.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=60 cm,∠A=60°,点D从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒(0<t≤15).过点D作DF⊥BC于点F,连结DE,EF.
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;
(2)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.
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【题目】如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b)
(1)求b,m的值
(2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别相交于C,D,若线段CD长为2,求a的值
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【题目】设直线y=kx+6和直线y=(k+1)x+6(k是正整数)及x轴围成的三角形面积为Sk(k=1,2,3,…,8),则S1+S2+S3+…+S8的值是( )
A. B.
C. 16D. 14
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【题目】已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.
(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,说明理由;
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.
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【题目】如图,一次函数 yax 2(a0) 的图象与反比例函数 y(k0) 的图象交于 A、B两点,且与x轴、y轴分别交于点C、D.已知 tan∠AOC=
,AO=
.
(1)求这个一次函数和反比例函数的解析式;
(2) 若点 F 是点D 关于 x 轴的对称点,求△ABF 的面积.
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【题目】如图,在长方形中,
10厘米,
6厘米,点
沿
边从点
开始向点
以2厘米/秒的速度移动;点
沿
边从点
开始向点
以1厘米/秒的速度移动.如果
同时出发,用
(秒)表示移动的时间.那么:
(1)如图1,用含的代数式表示
和
,若线段
,求
的值.
(2)如图2,在不考虑点的情况下,连接
,用含t的代数式表示△QAB的面积.
(3)图2中,若△QAB的面积等于长方形的面积的
,求
的值.
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【题目】如图,A、B两点在数轴上,点A表示的数为–10,OB=4OA,点M以每秒2个单位长度的速度从点A开始向左运动,点N以每秒3个单位长度的速度从点B开始向左运动(点M和点N同时出发).
(1)数轴上点B对应的数是__________,线段AB的中点C对应的数是__________;
(2)经过几秒,点M、点N到原点的距离相等?
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