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【题目】若任意一个代数式,在给定的范围内求得的最值恰好也在该范围内,则称这个代数式是这个范围的友好代数式.例如:关于的代数式,当时,代数式时有最大值,最大值为1;在时有最小值,最小值为0,此时最值10均在(含端点)这个范围内,则称代数式友好代数式

1)若关于的代数式,当时,取得的最大值为________;最小值为________;代数式________(填不是友好代数式

2)以下关于的代数式,是友好代数式的是________

;②;③

3)若关于的代数式友好代数式,则的值是________

4)若关于的代数式友好代数式,求的最大值和最小值.

【答案】130,不是 2)② 3 (4)的最大值为4和最小值为0.

【解析】

(1)求出代数式的最大值和最小值,再根据友好代数式的定义进行判断即可;

(2)根据友好代数式的定义对各代数式进行求解即可;

(3)分三种情况进行求解:①;②;③,即可求出m的值;

(4)分三种情况进行求解:①;②;③,解得,即可求出的最大值和最小值.

(1)∵

∴当时,有最大值,最大值为3;当时,有最小值,最小值为0

故代数式不是友好代数式

(2)①∵当时,有最大值,最大值为3;当时,有最小值,最小值为-1

不是友好代数式

②∵当时,有最大值,最大值为2;当时,有最小值,最小值为-2

友好代数式

③∵当时,有最大值,最大值为2;当时,有最小值,最小值为-4

不是友好代数式

故是友好代数式的是②.

(3)∵关于的代数式友好代数式

∴分以下三种情况进行讨论:

∴当时,有最大值,最大值为4;当时,有最小值,最小值为

∴不成立

解得

∴当成立

∴当时,有最大值,最大值为;当时,有最小值,最小值为-4

∴不成立

的值是

(4)∵关于的代数式友好代数式

∴分以下三种情况进行讨论

时,有最大值,最大值为;当时,有最小值,最小值为

解得

时成立

时,有最大值,最大值为;当时,有最小值,最小值为

无解

的最大值为4和最小值为0.

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