Question

【题目】△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．

（1）观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，①AB与CF的位置关系为：　 　；

②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　．

（2）数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．

（3）拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，设AD与CF相交于点G，若已知AB=4，CD=AB，求AG的长．

Answer 1

【答案】(1) ①AB∥CF ； ②BC=CD+CF；（2）见解析；（3）．

【解析】（1）①根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②根据全等三角形的性质得到CF=BD，再根据BD+CD=BC，即可得出CF+CD=BC；

（2）依据△ABD≌△ACF，即可得到∠ACF+∠BAC=180°，进而得到AB∥CF；依据△ABD≌△ACF可得BD=CF，依据CD﹣BD=BC，即可得出CD﹣CF=BC；

（3）判定△ABD≌△ACF，即可得到CF=BD=BC+CD=6，∠ACG=∠ABC=60°=∠ADF，再根据△AGC∽△FGD，即可得到==，进而得出AG的长．

（1）①∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAD=∠CAF．

又∵菱形ADEF中，AD=AF，∴△ABD≌△ACF，∴∠ACF=∠ABD=60°．

又∵∠ACB=60°，∴∠ABC+∠BCF=180°，∴AB∥CF；

②∵△ABD≌△ACF，∴BD=CF．

又∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC．

故答案为：AB∥CF；CF+CD=BC；

（2）结论①成立，而结论②不成立．证明如下：

如图2．∵∠BAC=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°=∠DAF，∠ABD=120°，∴∠BAD=∠CAF．

又∵菱形ADEF中，AD=AF，∴△ABD≌△ACF，∴∠ACF=∠ABD=120°．

又∵∠CAB=60°，∴∠ACF+∠BAC=180°，∴AB∥CF；

∵△ABD≌△ACF， ∴BD=CF．

又∵CD﹣BD=BC，∴CD﹣CF=BC；

（3）如图3，连接DF，过A作AH⊥BD于H，则AH=2，DH=2+2=4，∴Rt△ADH中，AD=2．

∵AF=AD，∠DAF=60°，∴△ADF是等边三角形．

又∵∠BAC=60°，AB=AC，∠BAD=∠CAF，∴△ABD≌△ACF，∴CF=BD=BC+CD=6，∠ACG=∠ABC=60°=∠ADF．

又∵∠AGC=∠FGD，∴△AGC∽△FGD，∴===，∴可设AG=4x，则FG=2x，CG=6﹣2x，DG=2﹣4x，∴=，解得：x=，∴AG=．