Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CD分别是△ABC两个外角的平分线．

(1)求证：∠ACD＝∠ADC；

(2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠FAD=∠B，进而得到AD∥BC，再利用∠D=∠DCE，即可证明∠ACD=∠ADC；

（2）首先证明△ABC和△ADC是等边三角形，进而得到AD=CB=AB=CD，可判定四边形ABCD是菱形．

证明：(1)∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

在△ABC中，

∠FAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B.

∵AD平分∠FAC，

∴∠FAC＝2∠FAD＝2∠CAD，

∴∠FAD＝∠B，

∴AD∥BC.

∴∠D＝∠DCE.

∵CD平分∠ACE，

∴∠ACD＝∠DCE.

∴∠ACD＝∠ADC　

(2)∵∠B＝60°，

∴∠ACB＝∠CAD＝60°，

∵AB＝AC，∠ACD＝∠ADC，

∴△ABC和△ACD都是等边三角形．

∴AB＝BC＝AC＝CD＝AD，

∴四边形ABCD是菱形.