Question

16．在平面直角坐标系中，边长为3的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．在旋转正方形OABC的过程中，△MBN的周长为6．

Answer 1

分析 通过证△OAE≌△OCN（ASA）和△OME≌△OMN（SAS），把△MBN的各边整理成与正方形的边长有关的式子即可．

解答 解：∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°．
如图所示：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN，
在△OAE和△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOA=∠CON}\\{OA=OC}\\{∠OAE=∠OCN}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=ON}\\{∠EOM=∠MON}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴△MBN的周长为：MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=6．
故答案是：6．

点评 此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，注意求一些线段的长度或角的度数，总要整理到已知线段的长度上或已知角的度数上进而得出是解题关键．