Question

15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，BD=2，AD=4，求AC和cos∠BCD．

Answer 1

分析 首先证明△ACB∽△ADC，进而可得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，然后可得AC的值，再证明∠BCD=∠A，从而得到cos∠BCD=cos∠A，然后根据余弦定理可得答案．

解答 解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AC²=AD•AB=4×6=24，
∴AC=2$\sqrt{6}$，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴cos∠BCD=cos∠A=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{4}{2\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 此题主要考查了解直角三角形，以及相似三角形的判定和性质，关键是正确证明出△ACB∽△ADC．