Question

20．已知：在等边△ABC中，点D为BC边的中点，点F在AB上，连结DF并延长到点E，使∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，且∠ABE=∠DBM．
（1）如图，线段AE、MD之间的数量关系为AE=2MD；请证明你的结论．
（2）在（1）的条件下，延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=2$\sqrt{7}$，求tan∠BCP的值．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°及△DBM∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得MD=$\frac{1}{2}$AE，继而可得AE=2MD；
（2）由于△ABE∽△DBM，相似比为2，故有EB=2BM，由题意知得△BEP为等边三角形，有EM⊥BP，∠BMD=∠AEB=90°，在Rt△AEB中求得AE、AB、tan∠EAB的值，由D为BC中点，M为BP中点，得DM∥PC，求得tan∠PCB的值．

解答 解：（1）如图1，线段AE、MD之间的数量关系为 AE=2MD；
理由：连接AD，
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴$\frac{DM}{AE}=\frac{DB}{AB}$=cos∠ABC=cos60°=$\frac{1}{2}$，
∴MD=$\frac{1}{2}$AE，
∴AE=2MD；

（2）如图2，连接AD，EP，过N作NH⊥AC，垂足为H，连接NH，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴$\frac{BE}{BM}=\frac{AB}{DB}$=2，∠AEB=∠DMB，
∴EB=2BM，
又∵BM=MP，
∴EB=BP，
∵∠EBM=∠EBA+∠ABM=∠MBD+∠ABM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，AE=2$\sqrt{7}$，AB=7，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴tan∠EAB=$\frac{BE}{AE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵D为BC中点，M为BP中点，
∴DM∥PC，
∴∠MDB=∠PCB，
∴∠EAB=∠PCB，
∴tan∠PCB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，以及锐角三角函数的定义，通过作辅助线使线段与线段的关系得到明确．本题的计算量大，难度适中．