Question

16．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线．
（2）已知：∠BAC=120°，BC=12，求⊙O的半径是多少？

Answer 1

分析 （1）过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论；
（2）由等腰三角形的性质“三线合一”可得OB，由切线的性质可得∠BAO，可得∠B，由含30°角直角三角形的性质可得BD的长，进而求出DO的长．

解答 （1）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，BC=12，
∴AO⊥BC，BO=6，
∵∠BAC=120°，AB，AC为⊙O的切线，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
∴∠B=30°，
∵BO=6，∠B=30°，OD⊥AB，
∴BD=$\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×6=3$，
则DO=3$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半径是3$\sqrt{3}$．

点评 考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．