Question

（本题10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．

（1）求证：AB⊥AE；

（2）若BC2=ADAB，求证：四边形ADCE为正方形．

Answer 1

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论；

（2）由于BC=AC，则AC2=ADAB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．

解答：证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，

∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，∴∠DCE=90°，CD=CE，

∵∠ACB=90°，∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACE，CD=CE，∴△BCD≌△ACE，

∴∠B=∠CAE=45°，∴∠BAE=45°+45°=90°，∴AB⊥AE；

（2）∵BC2=ADAB，而BC=AC，∴AC2=ADAB，

∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴∠CDA=∠BCA=90°，

而∠DAE=90°，∠DCE=90°，∴四边形ADCE为矩形，

∵CD=CE，∴四边形ADCE为正方形．

考点：1．旋转的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．相似三角形的判定与性质．

考点分析： 考点1：图形的平移与旋转 定义：
将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。平移是图形变换的一种基本形式。平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。 平移基本性质：
经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；
平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;
（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等
（3）多次连续平移相当于一次平移。
（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。
（5）平移是由方向和距离决定的。
这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移
平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。 平移的三个要点
1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。
2 平移的方向。（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）
3 平移的距离。（长度，如7厘米，8毫米等） 平移作用：
1.通过简单的平移可以构造精美的图形。也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制-平移-粘贴。
2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。 平移作图的步骤：
（1）找出能表示图形的关键点；
（2）确定平移的方向和距离；
（3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；
（4）按原图的顺序，连结各对应点。 考点2：图形的相似 形状相同，大小不同的两个图形相似 试题属性

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