Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．

（1）求证：AE=DF；

（2）求证：AM⊥DF．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据正方形的性质证明△AOE≌△DOF即可；

（2）由（1）知∠OEA=∠OFD，根据∠OAE+∠AEO=90°，等量代换即可得证．

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=CO=OD，AC⊥BD，

∴∠AOE=∠DOF=90°，

又∵DE=CF，

∴OD﹣DE=OC﹣CF，即OE=OF，

在△AOE和△DOF中，，

∴△AOE≌△DOF(SAS)，

∴AE=DF；

（2）由（1）得：△AOE≌△DOF，

∴∠OEA=∠OFD，

∵∠OAE+∠AEO=90°，

∴∠OAE+∠OFD=90°，

∴∠AMF=90°，

∴AM⊥DF．