Question

【题目】如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．

（1）求证：△ODM∽△MCN；

（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；

（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（0＜x＜8）（3）在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值

【解析】试题分析：（1）依题意可得∠OMC=∠MNC，然后可证得△ODM∽△MCN．
（2）设DM=x，OA=OM=R，OD=AD-OA=8-R，根据勾股定理求出OA的值．
（3）由1可求证△ODM∽△MCN，利用线段比求出CN，MN的值．然后可求出△CMN的周长等于CM+CN+MN，把各个线段消去代入可求出周长．

试题解析：

（1）证明：∵MN切⊙O于点M，

∴∠OMN=90°；

∵∠OMD+∠CMN=90°，∠CMN+∠CNM=90°；

∴∠OMD=∠MNC；

又∵∠D=∠C=90°；

∴△ODM∽△MCN，

（2）在Rt△ODM中，DM=x，设OA=OM=R；

∴OD=AD﹣OA=8﹣R，

由勾股定理得：（8﹣R）2+x2=R2，

∴64﹣16R+R2+x2=R2，

∴OA=R= ;

（3）∵CM=CD﹣DM=8﹣x，

又∵OD=8-R=8-，

且有△ODM∽△MCN，

∴，

∴代入得到CN=；

同理，

∴代入得到MN= ；

∴△CMN的周长为P=CM+CN+MN=(8-x)+ =16．