【题目】如图,□ABCD的对角线相交于点O,将线段OD绕点O旋转,使点D的对应点落在BC延长线上的点E处,OE交CD于H,连接DE.
(1)求证:DE⊥BC;
(2)若OE⊥CD,求证:2CE·OE=CD·DE;
(3)若OE⊥CD,BC=3,CE=1,求线段AC的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)
【解析】(1)由平行四边形的性质得到BO=BD,根据平行四边形的判定即可得到结论;(2)根据等角的余角相等,得到∠CEO=∠CDE,推出△CDE∽△DBE,即可得到结论;
(3)由第二问所得的相似求出DE,再由勾股定理求出AC即可.
解:(1)证明:由旋转可知OE=OD,∴∠ODE=∠OED
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,OA=OC
∴OB=OE,∴∠OEB=∠OBE
∵∠BDE+∠DBE+∠BED=180°,∴∠ODE+∠OED+∠OEB+∠OBE=180°
∴∠OED+∠OEB=90°,即∠DEB=90°,∴BC⊥CD
(2)∵OE⊥CD,∴∠CHE=90°,∴∠CDE+∠OED=90°
∵∠OED+∠OEB=90°,∴∠CDE=∠OEB
∵∠OEB=∠OBE,∴∠CDE=∠OBE
∵∠CDE=∠OBE,∠CED=∠DEB,∴△CDE∽△DBE
∴,即CE·BD=CD·DE
∵OE=OD,OB=OD,BD=OB+OD,∴BD=2OE
∴2CE·OE=CD·DE
(3)∵BC=3,CE=1,∴BE=4
由(2)知,△CDE∽△DBE
∴,即DE2=CE·BE=4,∴DE=2
过点O作OF⊥BE,垂足为F
∵OB=OE,∴BF=EF=BE=2,∴CF=EF-CE=1
∵OB=OD,BE=EF,∴OF=DE=1
在Rt△OCF中,
∴AC=2OC=
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【题目】如图,在△ABC中,AC=3cm,∠ACB=90°,∠ABC=60°,将△ABC绕点B顺时针旋转至△A′BC′,点C′在直线AB上,则边AC扫过区域(图中阴影部分)的面积为____________cm2.
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【题目】某商场设了一个可以自由转动的转盘如图,并规定:顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是活动进行中的一组统计数据:
(1)计算并完成表格:
转动转盘的次数n | 100 | 150 | 200 | 500 | 800 | 1000 |
落在钢笔的次数m | 68 | 111 | 136 | 345 | 564 | 701 |
落在钢笔的频率 |
(2)请估计,当n很大时,频率将会接近多少?
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【题目】为了了解某校七年级400名学生的体重情况,从中抽取50名学生进行统计分析,在这个问题中,总体是指( )。
A.400
B.被抽取的50名学生
C.400名学生的体重
D.被抽取的50名学生的体重
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【题目】如图,已知一次函数与反比例函数的图象在第一象限相交于点A(6,n),与x轴相交于点B.
(1)填空:n的值为 ,k的值为 ;当y2≥-4时,x的取值范围是 ;
(2)以AB为边作菱形ABCD,使点C在点B右侧的x轴上,求点D的坐标.
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【题目】如图,在直角坐标系中,一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B,平行四边形ABCD中,D(6,0),函数y=x+m图象过点E(4,0),与y轴交于G,动点P从O点沿y轴正方向以每秒2个单位的速度出发,同时,以P为圆心的圆,半径从6个单位起以每秒1个单位的速度缩小,设运动时间为t.
(1)若⊙P与直线EG相切,求⊙P的面积;
(2)以CD为边作等边三角形CDQ,若⊙P内存在Q点,求t的取值范围.
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