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【题目】如图,□ABCD的对角线相交于点O,将线段OD绕点O旋转,使点D的对应点落在BC延长线上的点E处,OECDH,连接DE

(1)求证:DEBC

(2)若OECD,求证:2CE·OECD·DE

(3)若OECDBC=3,CE=1,求线段AC的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)

【解析】(1)由平行四边形的性质得到BO=BD,根据平行四边形的判定即可得到结论;(2)根据等角的余角相等,得到∠CEO=∠CDE,推出△CDE∽△DBE,即可得到结论;

(3)由第二问所得的相似求出DE,再由勾股定理求出AC即可.

解:(1)证明:由旋转可知OEOD,∴∠ODE=∠OED

∵四边形ABCD是平行四边形,∴OBODOAOC

OBOE,∴∠OEB=∠OBE

∵∠BDE+∠DBE+∠BED=180°,∴∠ODE+∠OED+∠OEB+∠OBE=180°

∴∠OED+∠OEB=90°,即∠DEB=90°,∴BCCD

(2)∵OECD,∴∠CHE=90°,∴∠CDE+∠OED=90°

∵∠OED+∠OEB=90°,∴∠CDE=∠OEB

∵∠OEB=∠OBE,∴∠CDE=∠OBE

∵∠CDE=∠OBE,∠CED=∠DEB,∴△CDE∽△DBE

,即CE·BDCD·DE

OEODOBODBDOBOD,∴BD=2OE

∴2CE·OECD·DE

(3)∵BC=3,CE=1,∴BE=4

由(2)知,△CDE∽△DBE

,即DE2CE·BE=4,∴DE=2

过点OOFBE,垂足为F

OBOE,∴BFEFBE=2,∴CFEFCE=1

OBODBE=EF,∴OFDE=1

在Rt△OCF中,

AC=2OC

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