Question

10．如图，矩形ABCD的边AB=4，BC=7，E为BC上一点，BE=3，连接AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后点B与点B′对应，点A与A′对应，再将所得△A′B′E绕着点E旋转，线段A′B′与线段AE交于点P，当PA′=2.4时，△B′AP为等腰三角形．

Answer 1

分析 根据勾股定理求得AE，根据等腰三角形的性质得出PA=PB′，设PA=PB′=x，则PA′=4-x，PE=5-x，作PG⊥A′E于G，根据余弦函数求得A′G=$\frac{4}{5}$（4-x），进而得出GE=5-$\frac{4}{5}$（4-x），然后根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求得．

解答 解：∵AB=4，BE=3，
∴AE=5，
∵△B′AP为等腰三角形，
∴PA=PB′，
设PA=PB′=x，则PA′=4-x，PE=5-x，
作PG⊥A′E于G，
∵∠PA′G=∠BAE，
∴cos∠PA′G=cos∠BAE，
∴$\frac{A′G}{PA′}$=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{4}{5}$，
∴A′G=$\frac{4}{5}$（4-x），
∵A′E=AE=5，
∴GE=5-$\frac{4}{5}$（4-x），
∵PA′²-A′G²=PE²-GE²，
∴（4-x）²-[$\frac{4}{5}$（4-x）]²=（5-x）²-[5-$\frac{4}{5}$（4-x）]²
解得x=2.4，
故当PA′=2.4时，△B′AP为等腰三角形．
故答案为2.4．

点评 考查了等腰三角形的性质、勾股定理和旋转的性质，根据勾股定理列出方程是解题的关键．