Question

20．如图，在等边△ABC中，AB=4，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小，由于C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，根据勾股定理求出CN，即可求出答案．

解答 解：过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，
∵等边△ABC中，AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CM=BM，
即BM+MN=CM+MN=CN，
∵CN⊥AB，
∴∠CNB=90°，CN是∠ACB的平分线，AN=BN（三线合一），
∵∠ACB=60°，
∴∠BCN=30°，
∵AB=4，
∴BN=$\frac{1}{2}$AB=2，
在△BCN中，由勾股定理得：CN=$\sqrt{B{C}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即BM+MN的最小值是2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．