Question

20．如图，已知抛物线y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是A（-1，0）、B（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在一点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于已知抛物线与x轴的交点，则可设交点式y=a（x+1）（x-4），化为一般式得到y=ax²-3ax-4a，则-3a=-$\frac{3}{2}$，然后求出a的值即可得到抛物线解析式；
（2）先求出C点坐标，再计算出BC的长，然后分类讨论：分别以点B、C为圆心，BC为半径画弧，弧与x轴的交点即为P点，然后写出对应的P点坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4），
即y=ax²-3ax-4a，
所以-3a=-$\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）存在．
当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=-2，则C（0，-2），
所以BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
当CP=CB时，点P与点B关于y轴对称，此时P点坐标为（-4，0）；
当BP=BC=2$\sqrt{5}$时，若点P在B点左侧，P点坐标为（-2$\sqrt{5}$+4，0），若点P在B点右侧，P点坐标为（2$\sqrt{5}$+4，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（-4，0）或（-2$\sqrt{5}$+4，0）或（2$\sqrt{5}$+4，0）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x₁，0），（x₂，0）．解决（2）小问的关键是应用分类讨论的思想．