Question

如图，△ABC中，∠ABC=90°，E为AC的中点．
操作：过点C作BE的垂线，过点A作BE的平行线，两直线相交于点D，在AD的延长线上截取DF=BE．连接EF、BD．
（1）试判断EF与BD之间具有怎样的关系？并证明你所得的结论．
（2）如果AF=13，CD=6，求AC的长．

Answer 1

解：如图：
（1）EF与BD互相垂直平分．
证明如下：连接DE、BF，∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵CD⊥BE，
∴CD⊥AD，
∵∠ABC=90°，E为AC的中点，
∴BE=DE=，
∴四边形BEDF是菱形，
∴EF与BD互相垂直平分．

（2）解：设DF=BE=x，则AC=2x，AD=AF-DF=13-x，
在Rt△ACD中，∵AD²+CD²=AC²，
∴（13-x）²+6²=（2x）²，
3x²+26x-205=0，
x₁=-（舍去），x₂=5，
∴AC=10，
答：AC的长是10．
分析：（1）证平行四边形BEDF，根据直角三角形斜边上的中线证BE=DF，推出菱形BEDF即可；
（2）设DF=BE=x，则AC=2x，AD=AF-DF=13-x，在Rt△ACD中根据勾股定理求出x，即可得到答案．
点评：本题主要考查对平行四边形的判定，勾股定理，解一元二次方程，直角三角形斜边上的中线，菱形的判定和性质等知识点的理解和掌握，能求出BE=DE和得到关于x的方程是解此题的关键．