Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F分别是BC上两点，满足∠EAF=45°，若AB=

72

，BE=3，求EF和CF的长．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，根据旋转的性质得AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°，根据勾股定理有FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；再根据∠EAF=45°，易证得△AGF≌△AEF，则有FG=EF，即可得到BE、CF、EF之间的数量关系，进而在求出BC的长，即可得出利用勾股定理求出EF，CF的长．

解答：解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，
连FG，如图，
∴AG=AE，CG=BE，∠1=∠B，∠EAG=90°，
∴∠FCG=∠ACB+∠1=∠ACB+∠B=90°，
∴FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；
又∵∠EAF=45°，而∠EAG=90°，
∴∠GAF=90°-45°=45°，
在△AGF和△AEF中

AE=AG ∠EAF=∠FAG AF=AF

∴△AGF≌△AEF（SAS），
∴FG=EF，
∴EF²=BE²+FC²，
∵AB=

72

，BE=3，AB=AC，
∴BC=

72+72

=12，
∴EC=9，设FC=x，则EF=9-x，
∴（9-x）²=3²+x²，
解得：x=4，则EF=5，
即EF的长为5，CF的长为4．

点评：本题考查了勾股定理以及三角形全等的判定与性质、旋转的性质，得出△AGF≌△AEF是解题关键．