Question

【题目】阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax4＋bx2＋c＝0(a≠0)，一般通过换元法解之，具体解法是设 x2＝y，则原四次方程化为一元二次方程：ay2＋by＋c＝0，解出y之后代入x2＝y，从而求出x的值．

例如解：4x4－8x2＋3＝0

解：设x2＝y，则原方程可化为：4y2－8y＋3＝0

∵a＝4，b＝－8，c＝3

∴b2－4ac＝(－8)2－4×4×3＝16＞0

∴y＝＝

∴y1＝， y2＝

∴当y1＝时，x2＝． ∴x1＝，x2＝－；

当y1＝时，x2＝． ∴x3＝，x4＝－．

小试牛刀：请你解双二次方程：x4－2x2－8＝0

归纳提高：

思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是____________(选出所有的正确答案)

①当b2－4ac≥0时，原方程一定有实数根；

②当b2－4ac＜0时，原方程一定没有实数根；

③当b2－4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；

④原方程无实数根时，一定有b2－4ac＜0．

Answer 1

【答案】x1＝－2，x2＝2；②③

【解析】试题分析：先设y=x2，则原方程变形为y2-2y-8=0，运用因式分解法解得y1=-2，y2=4，再把y=-2和4分别代入y=x2得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．

根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④．

试题解析：x4-2x2-8=0

设y=x2，则原方程变为：y2-2y-8=0．

分解因式，得（y+2）（y-4）=0，

解得，y1=-2，y2=4，

当y=-2时，x2=-2，x2+2=0，△=0-4×2＜0，此方程无实数解；

当y=4时，x2=4，解得x1=-2，x2=2，

所以原方程的解为x1=-2，x2=2．

根据阅读新知和小试牛刀即可判断②③；

如：x4+4x2+3=0，虽然△=b2-4ac=16-12=4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）=0，明显，此方程无解；

所以，①④错误，

故答案为②③．

【方法总结】本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程是双二次方程时，可考虑用换元法降次求解．