Question

【题目】如图，在中， 分别是边上的两个动点（ 不与 重合），且保持 ，以 为边，在点 A 的异侧作正方形．

（1）试求的面积；

（2）当边 与 重合时，求正方形的边长；

（3）设 与正方形 重叠部分的面积为，试求关于 的函数关系式，并写出自变量的范围；

（4）当 是等腰三角形时，请直接写出 的长．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）；（3）当0 <x≤2时，，当2 < x<5时，；（4）．

【解析】

（1）作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积．

（2）根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度．

（3）可以分为正方形在三角形内部和不全在内部两种情况求解，全在内部时，利用三角形相似得，求出DE，再求重叠部分正方形的面积，不全在内部时先求出长DE，再利用DG∥AH，求出宽．

（4）当△BDG是等腰三角形时，分BD＝DG，BD＝BG，DG＝BG三种情况写出AD的长．

解：（1）过A作,

，

,

（2）令此时正方形的边长为a，如图

∵DE∥BC，

∴

即

,

（3）当DE＝时，由△ADE∽△ABC得，解得AD＝2，

当0 < x ≤ 2时，正方形全部在三角形内部，由得：，DE＝，

∴(0 < x ≤ 2)；

当 2 < x < 5 时，如图，DE＝，BD=5-x

∵sin∠B=

即

∴DM=，

∴(2 < x < 5)；

（4）当△BDG是等腰三角形时，设AD＝x，当BD＝DG，

此时正方形不全部在三角形内部，

∵BD＝5x，

由（3）可知DG＝DE＝，

∴5x=

解得x=,

∴AD＝；

当DB＝BG时，BD=5-x,DG=

∵cos∠B=

即

∴BM==3-x

又DM=，

∴MG=DG-DM=-[]=2x-4

∴BG2=BM2+MG2=（3-x）2+（2x-4）2

∵DB＝BG

∴BD2=BG2,

即（5-x）2=（3-x）2+（2x-4）2

解得x=（x=0舍去）

∴AD=；

当DG＝BG，同理DG2=BG2,

即（）2=（3-x）2+（2x-4）2

解得x=(x=5舍去)

∴AD＝；

故AD＝，，．