Question

【题目】已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠OAC＝58°．

（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线交于点P，求∠P的大小；

（Ⅱ）如图②，P为AB上一点，CP延长线与⊙O交于点Q．若AQ＝CQ，求∠APC的大小．

Answer 1

【答案】（I）∠P＝26°；（II）∠APC＝48°．

【解析】

（I）根据等腰三角形中有一底角为58度时，可得∠COA＝64°，根据切线的性质得出∠OCP＝90°，进而求得∠P的度数；
（II）先由（I）知∠AOC＝64°，根据圆周角定理得∠Q＝∠AOC＝32°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠QAC＝∠QCA＝74°，最后由三角形外角的性质可得结论．

（I）如图①，

∵OA＝OC，∠OAC＝58°，

∴∠OCA＝58°

∴∠COA＝180°﹣2×58°＝64°

∵PC是⊙O的切线，

∴∠OCP＝90°，

∴∠P＝90°﹣64°＝26°；

（II）∵∠AOC＝64°，

∴∠Q＝∠AOC＝32°，

∵AQ＝CQ，

∴∠QAC＝∠QCA＝74°，

∵∠OCA＝58°，

∴∠PCO＝74°﹣58°＝16°，

∵∠AOC＝∠QCO+∠APC，

∴∠APC＝64°﹣16°＝48°．