Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AC交⊙O于点D．

（1）求证：AB2=ADAC；

（2）当点D运动到半圆AB什么位置时，△ABC为等腰直角三角形，为什么？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当点D运动到半圆AB中点时，△ABC为等腰直角三角形．

【解析】分析：（1）连接BD，根据切线的性质和圆周角定理证得△ADB∽△ABC，然后根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，证明即可；

（2）根据相似三角形的性质与判定，和等腰直角三角形的性质，证得∠BAD=∠ABD=45°，然后根据圆周角定理得证结论.

详解：（1）证明：连接BD，如图所示．

∵AB为⊙O的直径，BC切⊙O于点B，

∴∠ADB=∠ABC=90°．

又∵∠BAD=∠CAB，

∴△ADB∽△ABC，

∴=，即AB2=ADAC；

（2）解：当点D运动到半圆AB中点时，△ABC为等腰直角三角形，理由如下：

∵△ADB∽△ABC，△ABC为等腰直角三角形，

∴△ADB为等腰直角三角形，

∴∠BAD=∠ABD=45°，

∴=．

∴当点D运动到半圆AB中点时，△ABC为等腰直角三角形．